设对于任意光滑有向闭曲面S ,都有∮∮x f ( y ) dy dz + y f ( x ) dz dx - z [ b+ f ( x + y ) ] dx dy = 0,其中函数f ( x ) 在(- ∋ ,+ ∋ ) 内连续,且f ( 1) = a( a,b 都是常数) ,求f (2010)
设P=xf(y),Q=yf(x),R=-z[b+f(x+y)],积分恒为零,则P对y的偏导数≡Q对x的偏导数Q对z的偏导数≡R对y的偏导数R对x的偏导数≡P对z的偏导数得f'(x+y)=0,所以f(x)是常函数,f(x)≡a.
f(2010)=a
公式用错了,应该用高斯公式。设P=xf(y),Q=yf(x),R=-z[b+f(x+y)],根据高斯公式, 曲面积分恒为零,则P对x的偏导数+Q对y的偏导数+R对z的偏导数≡0,所以 f(y)+f(x)-b-f(x+y)=0, f(x+y)=f(x)+f(y)-b f(2)=2f(1)-b=2a-b f(3)=f(2)+f(1)-b=3a-2b f(4)=....=4a-3b .... 由归纳法可得f(n)=na-(n-1)b,所以f(2010)=2010a-2009b |